9 июля исполняется 70 лет математику, доктору физико-математических наук, ординарному профессору и первому декану факультета математики НИУ ВШЭ Сергею Константиновичу Ландо. О кораблях, узлах и математике как способе описания природы юбиляр рассказал «Вышке для своих».
Математический подход
Я родился и прожил 17 лет в Перми. Точнее, в ее рабочем районе, Мотовилихе, которая до войны была самостоятельным городом. В девятом классе перешел в физико-математическую школу №9, в физический спецкласс. Я хорошо помню причину, по которой я принял именно такое решение. В седьмом и восьмом классах я дважды пытался поступить в Москву, в Колмогоровскую школу-интернат, но не поступил. Не потому, что плохо сдавал математику, а потому, что плохо сдавал физику. И решил, что если я буду учиться в физическом классе, то физику наконец выучу. Но этого не произошло. Физику я не понимаю до сих пор. При этом я занимаюсь какими-то задачами из математической физики, но подхожу к ним исключительно со стороны математики.
Девятая школа, в которой я учился в старших классах, весьма старая. Она существует до сих пор, и ей больше ста лет. При этом корни ее лежат еще глубже: ее история восходит к Первому начальному мужскому училищу, открытому в 1809 году. Наш класс, учившийся в школе лишь два заключительных года, оказался на удивление дружным. Каждый год в последнюю субботу апреля (раньше в этот день Россия переходила с зимнего времени на летнее) мои одноклассники встречаются. И не только те, кто живет в Перми. Я не то чтобы часто езжу на эти встречи, но в 2022 году, когда было 50-летие нашего выпуска, был. И в этом году тоже.
В школе у меня были нормальные отношения со всеми учителями. А с Галиной Самойловной Царевой, учительницей математики, мы подружились, и эта дружба продолжалась еще долго после школы. Галина Самойловна всегда говорила, что меня ей ничему научить не удалось, но я с ней не согласен. Она передала мне свое отношение к математике, к людям в математике, научила увлеченности, желанию объяснить свой предмет и готовности думать о нем в самых разных ситуациях и обстоятельствах.
© Высшая школа экономики
Первое мое знакомство с математикой случилось еще до школы. Моя мама была учительницей математики. Она не воспитывала меня как-то по-особенному, но в доме было много книжек с математическими задачками. Как только я научился читать, я почти сразу с большим удовольствием стал решать задачки оттуда, а начиная с класса третьего-четвертого помогал маме проверять контрольные работы старшеклассников.
В советское время в России активно шла кружковая математическая жизнь, энтузиасты хранят эту традицию до сих пор. Я начиная с пятого класса ходил в математический кружок при пединституте, а начиная с седьмого — при университете. Может, нас учили не настолько глубоко и ярко, как в Москве или Ленинграде, но это было чрезвычайно полезно. Там я много чего понял. Например, что такое математическое рассуждение, что такое математическое доказательство, что такое математическое определение. Мне никогда потом не приходилось это осваивать. Учась в старших классах, я окончил заочную математическую школу МГУ и заочную школу Физтеха. В то время был такой формат — «школа по переписке»: вам присылали брошюрку с какой-то теорией и задачами, а вы должны были решить определенный набор контрольных задач и отправить их по почте обратно. За год пять-шесть раз удавалось обменяться письмами с преподавателями. Впоследствии, став студентом мехмата, я сам преподавал в той же школе.
Маршировать или программировать
В 1972 году я как член команды СССР на Международной олимпиаде был зачислен без экзаменов на механико-математический факультет МГУ. На олимпиаду я в результате не попал: в последний момент вместо меня взяли очень перспективного девятиклассника, но он был настолько силен, что ощущения какой-то несправедливости по отношению ко мне не было. В том году этот девятиклассник получил золотую медаль Международной олимпиады. И в следующем тоже. Теперь академик Сергей Владимирович Конягин — весьма значимая величина в мировой математике.
На первом курсе мехмата семинары по аналитической геометрии у нас вел Александр Михайлович Виноградов. Мне они очень нравились. И при распределении по кафедрам в конце второго курса я пошел к нему. Однако в результате оказалось, что мне это не настолько интересно, чтобы хотелось заниматься теми же задачами дальше. К концу пятого курса появилось ощущение, что надо что-то поменять. И я поменял, когда комсомольская организация факультета не дала мне рекомендации в аспирантуру.
Тогда был такой порядок: выпускники, которые не пошли в аспирантуру, проходили распределение в различные организации, присылавшие заявки на факультет. Однако были существенные ограничения. Московские организации не могли взять на работу человека, у которого не было московской прописки. То же самое для Ленинграда, Киева и других столичных городов. Более продвинутые выпускники старались заранее обеспечить себя заявкой из привлекательного учреждения, но я таким не был. В какой-то момент факультет отказался от идеи меня распределять. Тогда евреям было вообще непросто найти подходящую работу по специальности. И на общем фоне у меня была еще не такая сложная ситуация. В конце концов меня взяли на работу в пермский институт, который назывался НИИУМС (Научно-исследовательский институт управляющих машин и систем). С программированием к тому времени я уже был знаком. В университете был курс программирования, однако настоящее знакомство произошло на летних военных сборах после четвертого курса. На сборах был выбор: маршировать по плацу или программировать. Разумеется, если не весь курс, то значительная его часть выбрала второе.
© Высшая школа экономики
В Перми я проработал четыре года. Это было время зарождения систем управления базами данных, которыми мы сейчас широко пользуемся. Та лаборатория, в которой я работал, как раз и занималась разработкой такой системы. Это была новая, интересная область знаний. И потом, участвовать в создании большой системы, да еще в машинных кодах для вящей эффективности, — совсем не то же самое, что написать на «Фортране» программку на страницу, рассчитывающую движение спутника. Это технически сложная задача. Я с увлечением этим занимался, и, по-моему, у меня получалось. Однако у программирования как профессии есть существенный недостаток: про каждую возникающую в процессе работы задачу понятно, как ее решать. В математике скорее наоборот: если понятно, как решать задачу, то обычно решать ее и не стоит.
С точки зрения Арнольда
Для того чтобы развиваться дальше в математике, была необходима аспирантура. Я уже знал, у кого хочу учиться. Когда я, будучи выпускником мехмата, понял, что нужно менять научного руководителя, я обратился к Владимиру Игоревичу Арнольду и попросил у него задачу. Он, подумавши, написал несколько исследовательских задач — из тех, что постоянно прокручивал у себя в голове. Одну из них я решил. Правда, при проверке обнаружилась ошибка, но ошибка легко исправляемая. И когда все было решено верно, Арнольд согласился, чтобы я поступал в аспирантуру к нему. Поэтому, работая в Перми, я при случае ездил в Москву к нему на семинар. Хотя такая возможность предоставлялась довольно редко, даже участие урывками позволяло мне не отрываться от происходящего на семинаре. Так же поступали и многие другие ученики Арнольда, оказавшиеся далеко от Москвы.
Через четыре года я наконец поступил в аспирантуру, и мы всей семьей — к тому моменту у меня было уже двое детей — перебрались в Москву. Жили в общежитии. Я подрабатывал ночным дежурным на этаже. Какой-то минимум зарабатывал. Вместе со стипендиями на хлеб хватало. Моим научным руководителем, как я и надеялся, стал Арнольд. Он определил мое отношение к исследованиям, привил понимание того, что в математике интересно, за чем нужно следить, какие работы нужно читать, к чему нужно стремиться, как нужно относиться к математике. С точки зрения Арнольда, математика является способом описания природы. Он отбрасывал все, что считал непригодным для этой цели, все абстрактные аксиоматические построения. Такие самоограничения не говорят об узости его взглядов, напротив, он умел видеть математику в любых природных проявлениях. И математику самую разную.
Дело о кораблях
Арнольд любил цитировать Леонардо да Винчи. Тот, когда его спрашивали про его учеников, кто из них лучший художник, говорил: «Вот этот лучше всех рисует лошадей. А этот — морские пейзажи. А этот — портреты. А вот этот умеет всего понемногу. Так вот он и является лучшим художником».
К математикам это тоже применимо. Математический талант, безусловно, существует. По-настоящему хорошая математика появляется, когда талант совмещается с желанием быть математиком. Но это редкое сочетание. Что касается меня, то я, хоть и умею всего понемногу, но, к сожалению, не на таком уровне, чтобы быть лучшим. А вот Арнольд, безусловно, был универсалом высочайшего класса, что в наше время встречается крайне редко. Арнольд владел в значительной степени инструментами из очень разных областей математики и умел выявлять в явлениях природы вот эту математическую сущность, отшелушивая все постороннее. Вот простейший пример, который он часто приводил: почему корабль, причаливая, всегда стукается о дебаркадер? Почему не получается причалить мягко? Это следствие теоремы о единственности решения дифференциального уравнения. Дело в том, что любое движение, в том числе движение корабля в процессе причаливания, описывается обыкновенным дифференциальным уравнением. И начиная с какого-то момента, после того как корабль уже причалил, у него нулевая скорость относительно дебаркадера. Но если бы процесс причаливания проходил гладко, без удара, то эта нулевая скорость при обращении времени должна была бы сохраняться. То есть корабль попросту не мог бы причалить. Ведь одно дело, когда он стоит неподвижно, а другое — когда он останавливается. В какой-то момент в этом решении должна возникать «негладкость». А «негладкость» — это и есть удар.
© Высшая школа экономики
Арнольд был одним из создателей математической теории катастроф. Что такое катастрофа с математической точки зрения? Это описание процессов резкого изменения состояния системы при малых изменениях в значении параметра. Все знают множество примеров таких процессов. Если использовать тот же самый корабельный образ, корабль на воде покачивается все время: покачивается и возвращается в исходное положение. Но если он очень сильно накренится, то наступит момент, когда он практически мгновенно переворачивается килем кверху. Точка невозврата. Это и есть математическая катастрофа: небольшое изменение угла наклона приводит к резкому последующему действию. Вообще, термин «теория катастроф» и само понятие катастрофы придумал не Арнольд, но он является ключевой фигурой в создании математической теории. И кто-то из китайских учеников Арнольда применял его рассуждения и описание причаливания корабля для программирования прилунения китайских космических аппаратов.
После аспирантуры, поскольку у меня по-прежнему не было московской прописки, а значит, и шансов устроиться в Москве, я поехал во вновь открывшийся Институт программных систем в городе Переславль-Залесский. Это опять была работа, связанная с программированием. Этот навык помогает мне и сейчас, когда перед тем, как думать, что и как доказывать, мы сначала осуществляем массу компьютерных экспериментов. И хотя методы программирования с семидесятых сильно поменялись, приобретенный тогда навык существенно облегчает работу по генерированию гипотез. В Переславле собралась молодая компания участников семинара Арнольда (у нас был собственный семинар, участниками которого были семь Сергеев), и мы практически каждую неделю ездили в Москву на арнольдовский семинар. Из Переславского семинара выросли мои первые работы по тому направлению, которым я занимаюсь и по сей день.
Независимый
Следующий большой этап в моей жизни связан с созданием Независимого университета. В начале 1990-х в стране наступило некоторое послабление, и мы, несколько математиков, решили этим воспользоваться и создать учебное заведение, в котором реализовывались бы правильные, с нашей точки зрения, подходы к математическому образованию. Было ощущение, что мы владеем лучшими методиками обучения, чем общепринятые на тот момент. Например, топология не являлась важной составляющей частью базового образования. В то же время было уже понятно, что это одна из центральных областей математики и круг ее применений будет только расширяться. С другой стороны, многие тонкие вопросы, скажем, анализа потеряли свою актуальность, и необходимость их изучения носила скорее ритуальный характер. К тому же анализу нужно учить по-другому за счет отбора материала, который реально используется в современной математике. Кроме того, мы рассчитывали организовать очень плотное индивидуальное обучение, что практически невозможно при большом количестве студентов. В этой высококонцентрированной среде обучение происходило бы не только за счет общения студентов с преподавателями, но и за счет интенсивного общения студентов между собой.
Идею создать Независимый университет выдвинул Николай Николаевич Константинов. Это совершенно уникальная, замечательная фигура в математическом мире. Он оканчивал физфак и, не будучи изначально профессиональным математиком, начиная с 1950-х годов за три десятилетия создал практически все московское специализированное математическое образование. Будучи студентом, я также преподавал в константиновских классах 57-й школы. Большинство математиков, обучавшихся в московских школах, в каком-то смысле потомки Константинова.
Над проектом Независимого университета работала небольшая инициативная группа, в которую входил и я. Константинов обратился с просьбой поддержать инициативу к известным в мире математики людям. В попечительский совет Независимого вошли двенадцать человек (позже к ним присоединились еще двое американских математиков). Возглавил его Арнольд. Все они скинулись по 100 долларов. Таким образом мы собрали 1200 долларов, на которые первые два года и работали. Из них платилась стипендия студентам и зарплаты преподавателям. Хотя второе было далеко не всегда. Первые годы занятия Независимого проходили в различных школах. А в 1997 году благодаря поддержке Александра Ильича Музыкантского, на тот момент префекта Центрального округа Москвы, университет переехал в уютное здание в Большом Власьевском переулке на Арбате, где и находится до сих пор.
Как было задумано
В конце 2006-го — начале 2007 года Ярослав Иванович Кузьминов с подачи Дмитрия Семеновича Шмерлинга познакомился с Арнольдом, заинтересовался Независимым и предложил нам сотрудничество. Мы проработали предложение и решили, что сотрудничество вполне возможно, однако Независимый должен остаться независимым, а в Вышке мы создали отдельный факультет математики, первым деканом которого стал я. И оставался им на протяжении восьми лет. Некоторое время перед созданием факультета я чувствовал себя Д’Артаньяном с лейтенантским патентом, который поочередно предлагал его всем своим друзьям, а все отказывались. Но раз есть договоренность о создании факультета, значит, должен быть декан, и мне пришлось взяться за это самому.
© Высшая школа экономики
В Независимом формально моя должность называлась «проректор», но, учитывая размеры университета, не следует к этому относиться слишком серьезно. Высшая школа экономики — это другой масштаб, прежде всего по количеству бумаг, которые приходилось и приходится до сих пор заполнять декану. Это и другая степень ответственности. Что я могу сказать про годы деканства? Ну, во-первых, есть результат, который виден каждому, кто бывал на Усачева, 6. О нас с уважением отзываются самые разные люди, и, мне кажется, то, что получилось, получилось хорошо. И коллектив, и преподаватели, и исследователи, которые сформировались уже здесь, и те студенты, которые еще учатся и которые уже закончили учиться, и атмосфера, и способ обучения — все выглядит таким, как задумывалось. Мне кажется, что у нас на факультете имеется консенсус относительно целей, к которым мы стремимся. По поводу же методов, которыми мы собираемся достичь этих целей, мы можем спорить очень жестко. Но это и правильно. Потому что, по-моему, единомышленники — это не люди, которые думают одинаково, а люди, которые думают об одном и том же.
Ну и важно то, что у нас регулярно меняется декан. Наш нынешний декан, Александра Сергеевна Скрипченко, — уже третий. Сменяемость руководства мы также рассматриваем как некоторую нашу принципиальную позицию, которая не дает структуре закостеневать и позволяет развиваться.
Попытка засчитана
В заключение, наверное, нужно сказать несколько слов о моей работе исследователя. Я когда-то сформулировал мысль, а стенгазета 57-й школы ее опубликовала: «Математика — это попытка додумать до конца вещи, которые додумать до конца невозможно». Потому что любой математический результат провоцирует появление новых вопросов. И я должен с прискорбием признать, что занимаюсь развитием тех задач, которые когда-то ставил Владимир Игоревич. Если оставаться в корабельной парадигме, то кильватер корабля Арнольда оказался настолько широким, что я до сих пор иду внутри него. Моя тема — это разнообразные топологические, алгебро-геометрические, комбинаторные конструкции, связанные с инвариантами узлов. Это теория, которая изучает «заузленность» как явление природы.
Я довольно часто слышал от коллег мнение, что далеко не всегда их самые цитируемые работы являются также наиболее важными. В моем случае цитируемость и важность совпадают. Моя самая цитируемая и, на мой взгляд, самая важная работа — это то, что сейчас называется формулой ELSV (по первым буквам фамилий авторов статьи — Экедаль, Ландо, Шапиро и Вайнштейн). Первый вариант статьи был написан в 1999 году, а окончательный — в 2001-м. Формула, которую мы предложили в этой статье, до этого не была известна. Мы ее придумали, и потом ушло еще года четыре на доказательство. Это не то чтобы большой срок. Наша формула устанавливает связи между областями, которые внешне кажутся очень далекими друг от друга. За счет этого результаты из одной области переносятся в другую и наоборот. С тех пор на ее основе получено множество разнообразных результатов.
9 июля